=== 数学考点库（公式型） ===
格式：考点名 | 公式 / 法则 / 核心要点

=== 集合与逻辑 ===
01. 集合交集 | A ∩ B = {x | x∈A 且 x∈B}
02. 集合并集 | A ∪ B = {x | x∈A 或 x∈B}
03. 集合补集 | ∁_U A = {x | x∈U 且 x∉A}
04. 子集个数 | 有限集A有n个元素 → 子集数=2ⁿ, 真子集数=2ⁿ−1
05. 德摩根律 | ∁(A∩B)=∁A∪∁B, ∁(A∪B)=∁A∩∁B
06. 命题真假 | 原命题↔逆否命题同真假；否命题↔逆命题同真假

=== 函数 ===
07. 函数三要素 | y = f(x), x∈A, y∈B → 定义域A + 值域{f(x)} + 对应法则f
08. 定义域求法 | 分母≠0；偶次根号内≥0；对数真数>0且底>0≠1；tan中x≠kπ+π/2
09. 奇偶性 | 奇函数：f(−x) = −f(x)；偶函数：f(−x) = f(x)；前提：定义域关于原点对称
10. 单调性 | 增函数：x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂)；减函数：x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂)
11. 周期性 | f(x+T) = f(x)，最小正T即为周期；f(x)周期T ⇒ f(ax+b)周期=T/|a|
12. 对称性 | f(a+x)=f(a−x) ⇒ x=a对称轴；f(a+x)+f(a−x)=2b ⇒ (a,b)对称中心
13. 二次函数 | f(x)=ax²+bx+c，顶点(−b/2a, (4ac−b²)/4a)，对称轴x=−b/2a
14. 二次函数最值 | a>0开口向上，顶点最小；a<0开口向下，顶点最大；闭区间还需比端点
15. 指数运算 | a^m·a^n=a^(m+n); (a^m)^n=a^(mn); a^m/a^n=a^(m−n); a^(−n)=1/a^n
16. 对数运算 | log_a(MN)=log_aM+log_aN; log_a(M/N)=log_aM−log_aN; log_aM^n=n·log_aM
17. 换底公式 | log_a b = (log_c b) / (log_c a); 特例：log_a b = 1/(log_b a)
18. 指数函数 | y=a^x (a>0,a≠1)，a>1增函数，0<a<1减函数；恒过(0,1)；渐近线y=0
19. 对数函数 | y=log_a x (a>0,a≠1)，a>1增，0<a<1减；恒过(1,0)；渐近线x=0
20. 幂函数 | y=x^α，α>0增(第一象限)，α<0减；α>1下凸，0<α<1上凸
21. 零点定理 | f(x)在[a,b]连续，f(a)·f(b)<0 ⇒ ∃c∈(a,b)使f(c)=0
22. 函数图像变换 | f(x)→平移：f(x±a)左右移a，f(x)±b上下移b；对称：f(−x)翻y轴；−f(x)翻x轴
23. 复合函数 | y=f[g(x)]，定义域：x∈D_g且g(x)∈D_f；单调性：同增异减
24. 抽象函数 | 赋值法：令x=y=0或x=y或x=−y等特殊值得出性质

=== 三角函数 ===
25. 同角关系 | sin²α+cos²α=1; tanα=sinα/cosα; 1+tan²α=sec²α; 1+cot²α=csc²α
26. 诱导公式 | 奇变偶不变，符号看象限（k·π/2±α，k为奇数则函数名改变，偶数不变）
27. 和差公式 | sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ; cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
28. 倍角公式 | sin2α=2sinαcosα; cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α
29. 降幂公式 | sin²α=(1−cos2α)/2; cos²α=(1+cos2α)/2; tan²α=(1−cos2α)/(1+cos2α)
30. 辅助角公式 | a·sinα+b·cosα=√(a²+b²)·sin(α+φ)，其中tanφ=b/a
31. 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）
32. 余弦定理 | a²=b²+c²−2bc·cosA；cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)
33. 面积公式 | S=½ab·sinC=½bc·sinA=½ac·sinB；S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]，p=½(a+b+c)
34. 三角函数图像 | y=Asin(ωx+φ)+k：A振幅，ω周期T=2π/ω，φ初相，k上下移

=== 数列 ===
35. 等差数列通项 | a_n = a_1 + (n−1)d；推广：a_n = a_m + (n−m)d
36. 等差数列求和 | S_n = n(a_1+a_n)/2 = n·a_1 + n(n−1)d/2
37. 等差中项 | 2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}；a,A,b成等差 ⇔ A=(a+b)/2
38. 等比数列通项 | a_n = a_1·q^(n−1)；a_n = a_m·q^(n−m)
39. 等比数列求和 | q≠1时：S_n = a_1(1−q^n)/(1−q)；q=1时：S_n = n·a_1
40. 等比中项 | a_{n+1}² = a_n·a_{n+2}；a,G,b成等比 ⇔ G=±√(ab)
41. 通项求法 | 知S_n求a_n：n=1时a_1=S_1；n≥2时a_n=S_n−S_{n−1}
42. 裂项相消 | 1/[n(n+k)] = (1/k)[1/n − 1/(n+k)]；1/(√a+√b)=(√a−√b)/(a−b)
43. 错位相减 | 等差数列×等比数列求和：乘公比对齐相减
44. 数列单调性 | 作差a_{n+1}−a_n或作商a_{n+1}/a_n判断增减

=== 平面向量 ===
45. 向量加减法 | 三角形法则（首尾相接）；平行四边形法则（共起点）；坐标：±分量对应运算
46. 数乘向量 | k·a：|k·a|=|k|·|a|，方向：k>0同向，k<0反向
47. 数量积 | a·b = |a||b|cosθ；坐标：a·b = x₁x₂+y₁y₂
48. 垂直条件 | a⊥b ⇔ a·b=0 ⇔ x₁x₂+y₁y₂=0
49. 平行条件 | a∥b ⇔ a=λb ⇔ x₁y₂−x₂y₁=0
50. 模长公式 | |a| = √(x²+y²)；|a±b|² = |a|²+|b|²±2a·b
51. 夹角公式 | cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (x₁x₂+y₁y₂)/[√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²)]
52. 投影 | a在b上的投影 = |a|cosθ = (a·b)/|b|

=== 立体几何 ===
53. 柱体体积 | V_柱 = S_底·h；V_圆柱 = πr²h
54. 锥体体积 | V_锥 = (1/3)S_底·h；V_圆锥 = (1/3)πr²h
55. 球体体积与面积 | V_球 = (4/3)πR³；S_球 = 4πR²
56. 台体体积 | V_台 = (1/3)h(S₁+S₂+√(S₁S₂))
57. 线面平行 | 线线平行→线面平行（判定）；线面平行→线线平行（性质）
58. 面面平行 | 两相交线分别平行→面面平行；线面平行→线面平行→面面平行
59. 线面垂直 | 垂直面内两相交线→线面垂直（判定）；线面垂直→垂直面内任意线（性质）
60. 面面垂直 | 线面垂直→面面垂直（判定）；在垂直面内作交线垂线→垂直线面（性质）
61. 线线角 | 异面直线夹角，平移后成相交线角，范围(0°,90°]
62. 线面角 | 斜线与射影夹角，sinθ=|cos<法向量,方向向量>|
63. 二面角 | cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)（n₁,n₂为两个面的法向量）

=== 解析几何 ===
64. 斜率公式 | k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = tanα
65. 直线方程 | 点斜式y−y₀=k(x−x₀)；斜截式y=kx+b；一般式Ax+By+C=0
66. 两直线位置 | 平行⇔k₁=k₂,A₁B₂=A₂B₁；垂直⇔k₁k₂=−1,A₁A₂+B₁B₂=0
67. 点到线距离 | d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
68. 平行线距离 | d = |C₁−C₂|/√(A²+B²)（l₁: Ax+By+C₁=0, l₂: Ax+By+C₂=0）
69. 圆方程 | 标准(x−a)²+(y−b)²=r²；一般x²+y²+Dx+Ey+F=0，r=½√(D²+E²−4F)
70. 直线与圆 | 几何法d与r比；代数法联立判别式Δ：Δ>0相交，Δ=0相切，Δ<0相离
71. 椭圆 | |PF₁|+|PF₂|=2a；x²/a²+y²/b²=1（a>b）；e=c/a<1；准线x=±a²/c
72. 双曲线 | ||PF₁|−|PF₂||=2a；x²/a²−y²/b²=1；e=c/a>1；渐近线y=±(b/a)x
73. 抛物线 | |PF|=d(P到准线)；y²=2px(p>0)焦点(p/2,0)准线x=−p/2；e=1
74. 弦长公式 | |AB| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)²−4x₁x₂] = √(1+k²)·|x₁−x₂|
75. 中点弦 | 点差法：设点代入方程相减，斜率=中点坐标关系

=== 导数 ===
76. 导数定义 | f'(x₀)=lim[Δx→0] [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx = 切线斜率
77. 基本求导 | (xⁿ)'=nx^(n−1); (eˣ)'=eˣ; (aˣ)'=aˣlna; (lnx)'=1/x; (sinx)'=cosx; (cosx)'=−sinx
78. 求导四则 | [u±v]'=u'±v'; [uv]'=u'v+uv'; [u/v]'=(u'v−uv')/v²
79. 复合求导 | y=f[g(x)] → y'_x = f'[g(x)]·g'(x)（链式法则）
80. 单调性判定 | f'(x)>0→增；f'(x)<0→减；列表判断单调区间
81. 极值判定 | f'(x₀)=0且两侧符号由正变负→极大；由负变正→极小
82. 最值求法 | 比较极值点函数值与端点函数值，取最大/最小
83. 切线方程 | y−f(x₀)=f'(x₀)(x−x₀)（曲线在点(x₀,f(x₀))处的切线）
84. 凹凸性 | f''(x)>0→凹（下凸）；f''(x)<0→凸（上凸）；f''(x)=0且异号→拐点
85. 洛必达法则 | lim f(x)/g(x) 为0/0或∞/∞型时，lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
86. 不等式证明 | 构造函数h(x)=f(x)−g(x)，求导研究单调性最值

=== 不等式 ===
87. 均值不等式 | (a+b)/2 ≥ √(ab)（a,b>0）；(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)；等号⇔a=b=c
88. 柯西不等式 | (a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²；向量形式：|a·b|≤|a||b|
89. 绝对值不等式 | ||a|−|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
90. 一元二次不等式 | ax²+bx+c>0，a>0，Δ<0→R；Δ=0→x≠−b/2a；Δ>0→两根之外

=== 排列组合与概率 ===
91. 排列 | A(n,m) = n!/(n−m)! = n×(n−1)×...×(n−m+1)（有序）
92. 组合 | C(n,m) = n!/[m!(n−m)!] = A(n,m)/m!（无序）
93. 捆绑法 | n个元素中m个相邻 → 将m个视为1个 → 排法(m!)·(n−m+1)!
94. 插空法 | n个元素中m个不相邻 → 先排其余(n-m)个 → m个插入形成的空
95. 隔板法 | n个相同物品分m份（非空）→C(n−1,m−1)
96. 二项式通项 | T_{r+1} = C(n,r)·a^(n−r)·b^r
97. 二项式系数和 | C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2ⁿ；奇数项和=偶数项和=2^(n−1)
98. 古典概型 | P(A) = (事件A包含基本事件数) / (基本事件总数)
99. 几何概型 | P(A) = (构成事件A的测度：长度/面积/体积) / (总测度)
100. 互斥事件 | A∩B=∅ → P(A∪B)=P(A)+P(B)
101. 对立事件 | P(Ā)=1−P(A)
102. 独立事件 | P(AB)=P(A)·P(B)
103. 条件概率 | P(B|A)=P(AB)/P(A)；P(AB)=P(A)·P(B|A)
104. 全概率公式 | P(B)=∑P(A_i)·P(B|A_i)，{A_i}为完备事件组
105. 贝叶斯公式 | P(A_k|B)=[P(A_k)·P(B|A_k)] / [∑P(A_i)·P(B|A_i)]
106. 二项分布 | X~B(n,p)，P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)；E(X)=np，D(X)=np(1−p)
107. 超几何分布 | P(X=k)=[C(M,k)·C(N−M,n−k)]/C(N,n)；E(X)=n·M/N
108. 正态分布 | X~N(μ,σ²)，P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.954
109. 期望与方差 | E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)；D(X)=E(X²)−[E(X)]²
110. 频率分布 | 频率=频数/总数；平均数=∑频率×组中值；方差=∑频率×(组中值−均值)²

=== 复数 ===
111. 复数形式 | z=a+bi=r(cosθ+isinθ)=r·e^(iθ)；模|z|=r=√(a²+b²)；辐角θ=arctan(b/a)
112. 共轭复数 | z̄=a−bi；z·z̄=|z|²；z₁+z₂的共轭=z̄₁+z̄₂
113. 复数运算 | (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
114. 复数除法 | (a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c−di)]/(c²+d²)
115. 欧拉公式 | e^(iθ)=cosθ+isinθ；e^(iπ)+1=0
116. 棣莫弗公式 | (cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)
